Question

【题目】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC, 联结BD、CD，BD交直线AC于点E.

（1）当∠CAD=90°时，求线段AE的长.

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，

①当∠CAD<120°时，设，（其中表示△BCE的面积，表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当时，请直接写出线段AE的长.

Answer 1

【答案】（1）（2） ()；（3）或

【解析】

（1）过点作，垂足为点．，则．根据构建方程求出即可解决问题．

（2）①证明，可得，由此构建关系式即可解决问题．

②分两种情形：当时，当时，分别求解即可解决问题．

解：（1）是等边三角形，

，．

，

，

，

，，，

．

过点作，垂足为点．

设，则．

在中，，

，，

，

在中，，

，

解得．

所以线段的长是．

（2）①设，则，．

，，

，

又，

，

，

又，

，

，

由（1）得在中，，，

，

．

②当时，

，则有，

整理得，

解得或（舍弃），

．

当时，同法可得

当时，，

整理得，

解得（舍弃）或1，

．

综上所述：当∠CAD<120°时，； 当120°<∠CAD<180°时，.