Question

【题目】设函数y＝x2+2kx+k﹣1(k为常数)，下列说法正确的个数是( )

(1)对任意实数k，函数与x轴有两个交点

(2)当x≥﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大

(3)k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条抛物线上

(4)对任意实数k，抛物线y＝x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

(1)△＝b2﹣4ac＝4k2﹣4k+4＝(2k﹣1)2+3＞0，即可求解；

(2)函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣k，a＞0，即可求解；

(3)函数的对称轴为：x＝﹣k，则顶点坐标为：(﹣k，﹣k2+k﹣1)，即可求解；

(4)y＝x2+2kx+k﹣1＝x2+k(2x+1)﹣1，当x＝﹣时，y＝﹣，即可求解.

(1)△＝b2﹣4ac＝4k2﹣4k+4＝(2k﹣1)2+3＞0，故对任意实数k，函数与x轴有两个交点，符合题意；

(2)函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣k，a＞0，故当x≥﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，符合题意；

(3)函数的对称轴为：x＝﹣k，则顶点坐标为：(﹣k，﹣k2+k﹣1)，故顶点在抛物线：y＝﹣x2﹣x﹣1上，k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条抛物线上，符合题意；

(4)y＝x2+2kx+k﹣1＝x2+k(2x+1)﹣1，当x＝﹣时，y＝﹣，故对任意实数k，抛物线y＝x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点，符合题意；

故选：D.