Question

【题目】如图，已知抛物线的图象经过点、和原点，为直线上方抛物线上的一个动点．

（1）求直线及抛物线的解析式；

（2）过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点，当为等腰三角形时，求的坐标；

（3）设关于对称轴的点为，抛物线的顶点为，探索是否存在一点，使得的面积为，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线的解析式为，二次函数的解析式是；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）先将点A代入求出OA表达式，再设出二次函数的交点式，将点A代入，求出二次函数表达式；

（2）根据题意得出当为等腰三角形时，只有OC=PC，设点D的横坐标为x，表示出点P坐标，从而得出PC的长，再根据OC和OD的关系，列出方程解得；

（3）设点P的坐标为，根据条件的触点Q坐标为，再表示出的高，从而表示出的面积，令其等于，解得即可求出点P坐标.

解：（1）设直线的解析式为，

把点坐标代入得：，

直线的解析式为；

再设，

把点坐标代入得：，

函数的解析式为，

∴直线的解析式为，二次函数的解析式是．

（2）设的横坐标为，则的坐标为，

∵为直线上方抛物线上的一个动点，

∴．

此时仅有，，

∴，解得，

∴；

（3）函数的解析式为，

∴对称轴为，顶点，

设，

则，到直线的距离为，

要使的面积为，

则，即，

解得：或，

∴或．