Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，过D点作DE⊥BC于E，过B点作BF⊥AB交DE于F，连接CF．
（1）若DE平分∠ADC，DF=2，AD=3

2

，求四边形ABFD的面积；
（2）若DF=BF，求证：∠BCF=45°-

1

2

∠FDC．

Answer 1

分析：（1）过F点作FM⊥AD于M，得出矩形ABFM，推出BF=AM，求出FM、DM的长，求出AM长，根据梯形的面积公式求出即可；
（2）延长BF交CD于N，得出矩形ABND，根据AAS证△BFE≌△DFN，推出EF=FN，根据HL证△CFE和△CFN全等，推出∠ECD=2∠BCF，根据三角形的内角和定理求出即可．

解答：（1）解：过F点作FM⊥AD于M，
∴四边形ABFM为矩形，
∴BF=AM，
∵DE平分∠ADC，
∴∠MDF=

1

2

∠ADC=45°，
在Rt△DMF中，FM=DF•sin∠MDF=

2

，
∴DM=MF=

2

∴AM=AD-MD=2

2

，
∴BF=AM=2

2

，
∴S四边形ABFD=

1

2

(BF+AD)•MF=

1

2

(2

2

+3

2

)•

2

=5，
答：四边形ABFD的面积是5．

（2）证明：延长BF交CD于N，
∴四边形ABND为矩形，
∴∠FND=∠FEB=90°，
在△BFE和△DFN中

∠BEF=∠FND ∠BFE=∠DFN BF=DF

，
∴△BFE≌△DFN，
∴FE=FN，
在Rt△CFE和Rt△CFN中

CF=CF EF=FN

，
∴Rt△CFE≌Rt△CFN（HL），
∴∠ECF=∠NCF=

1

2

∠ECN，
∴∠BCN=2∠BCF，
∵∠BCN+∠EBF=90°，
∴2∠BCF+∠FDC=90°，
∴∠BCF=45°-

1

2

∠FDC．

点评：本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，直角梯形，等腰直角三角形等知识点的应用，通过做此题培养了学生综合运用定理进行推理的能力和计算能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好．