Question

3．已知：b是最大的负整数，且a，b，c满足|a+b|+（4-c）²⁰¹⁶=0，试回答问题：
（1）请直接写出a，b，c的值；
（2）若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1），请化简式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与B之间的距离表示为AB．请问：AB-BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

Answer 1

分析 （1）根据b是最大的负整数，即可得出b的值，再根据绝对值及偶次方的非负性即可得出a、c的值；
（2）分析当0≤x≤1时，x+1、1-x、x-4的正负，去掉绝对值符号即可得出结论；
（3）找出运动时间为t时，点A、B、C对应的数，再根据两点间的距离公式找出AB、BC的长度，二者做差后即可得出结论．

解答 解：（1）∵b是最大的负整数，|a+b|+（4-c）²⁰¹⁶=0，
∴b=-1，a=-b=1，c=4，
（2）∵0≤x≤1，
∴x+1＞0，1-x≥0，x-4＜0，
∴|x+1|-|1-x|+2|x-4|=x+1-（1-x）+2（4-x）=8．
（3）AB-BC的值随着时间t的变化而改变，理由如下：
运动时间为t时，点A对应的数为1-2t，点B对应的数为3t-1，点C对应的数为8t+4，
∴AB=|1-2t-（3t-1）|=|5t-2|，BC=|8t+4-（3t-1）|=|5t+5|，
∴AB-BC=|5t-2|-|5t+5|．
当0≤t＜$\frac{2}{5}$时，AB-BC=2-5t-（5t+5）=-3-10t；
当$\frac{2}{5}$≤t时，AB-BC=5t-2-（5t+5t）=-7．
综上所述：AB-BC的值随着时间t的变化而改变．

点评 本题考查了有理数、绝对值和偶次方的非负性以及数轴，根据点的运动规则找出t秒后点对应的数是解题的关键．