Question

9．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？证明你的结论；
（3）若四边形AECF是菱形，AB=6，BC=8，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是矩形可证明△BOE≌△DOF，从而即可得出答案；
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据菱形的判定性质即可证明；
（3）先证明△ABC∽△AOE，得出比例式求出OE，即可求出EF．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠BEO=∠DFO，
在△BOE与△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠DFO}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
由（1）知OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（3）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OE=$\frac{1}{2}$EF，
∴∠AOE=90°，
∴∠OAE+∠AEO=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OAE+∠ACB=90°，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=5，∠AEO=∠ACB，
∴△ABC∽△AOE，
∴$\frac{BC}{OE}=\frac{AB}{OA}$，即$\frac{8}{OE}=\frac{6}{5}$，
∴OE=$\frac{20}{3}$，
∴EF=2OE=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．