题目内容
如图所示，△ABC中，∠C=90°，tanB=0.6，AB=10．求△ABC的面积．（1）求△ABC的面积．
（2）求∠BCD的余弦值．
分析：（1）在直角三角形ABC中，由锐角三角函数定义得到tanB等于对边AC比邻边BC，根据tanB的值，得到AC与BC的比值，根据比值设出AC与BC，再由AB的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出AC与BC的值，利用两直角边乘积的一半即可求出三角形ABC的面积；
（2）由三角形ABC的面积等于斜边AB与AB边上的高CD乘积的一半表示出面积S，再由第一问求出的面积及AB的长，求出高CD的长，在直角三角形BCD中，由锐角三角函数定义得到余弦值等于邻边比斜边，即CD比BC可得出∠BCD的余弦值．
（2）由三角形ABC的面积等于斜边AB与AB边上的高CD乘积的一半表示出面积S，再由第一问求出的面积及AB的长，求出高CD的长，在直角三角形BCD中，由锐角三角函数定义得到余弦值等于邻边比斜边，即CD比BC可得出∠BCD的余弦值．
解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴tanB=
=0.6=
，
设AC=3k，则BC=5k，又AB=10，
根据勾股定理得：（3k）2+（5k）2=100，
整理得：k2=
，又k＞0，
∴k=
，
∴AC=
，BC=
，
则△ABC的面积S=
AC•BC=
；
（2）∵AB=10，S=
，
∴S=
AB•CD=5CD=
，
∴CD=
，又BC=
，
则在Rt△BCD中，cos∠BCD=
=
．
∴tanB=
| AC |
| BC |
| 3 |
| 5 |
设AC=3k，则BC=5k，又AB=10，
根据勾股定理得：（3k）2+（5k）2=100，
整理得：k2=
| 50 |
| 17 |
∴k=
5
| ||
| 17 |
∴AC=
15
| ||
| 17 |
25
| ||
| 17 |
则△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 375 |
| 17 |
（2）∵AB=10，S=
| 375 |
| 17 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 375 |
| 17 |
∴CD=
| 75 |
| 17 |
25
| ||
| 17 |
则在Rt△BCD中，cos∠BCD=
| CD |
| BC |
3
| ||
| 34 |
点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，灵活运用锐角三角函数定义是解本题的关键．
练习册系列答案
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