Question

7．已知二次函数h=x²-（2m-1）x+m²-m（m是常数，且m≠0）
（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
（2）设二次函数h=x²-（2m-1）x+m²-m与x轴两个交点的横坐标分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是关于m的函数，且y=2-$\frac{2{x}_{2}}{{x}_{1}}$，请结合函数的图象回答：y＞m-1时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令h=0，将二次函数转化为方程x²-（2m-1）x+m²-m=0求根的问题，根据方程根的判别式来证明；
（2）首先令h=x²-（2m-1）x+m²-m=0，求出x₁=m，x₂=m-1，然后结合题意得到y=2-$\frac{2（m-1）}{m}$=$\frac{2}{m}$，由y＞m-1来求m的取值范围．

解答 解：∵b²-4ac=[-（2m-1）²]-4×（m²-m），
=1＞0，
∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；

（2）令h=0，则x²-（2m-1）x+m²-m=0，
整理，得
（x-m）[x-（m-1）]=0．
∵x₁＞x₂，
∴x₁=m，x₂=m-1，
∴y=2-$\frac{2（m-1）}{m}$=$\frac{2}{m}$，
∴y＞m-1，即$\frac{2}{m}$＜m-1，
∴m＜-1或0＜m＜2．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，解答此题的时，也可以利用数形结合的思想画出函数图象，再根据函数图象直接解答．