Question

17．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=$\frac{3}{x}（x＞0），y=\frac{6}{x}$（x＞0）分别交于A，B两点，则$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据直线y=kx（k＞0）先设出A、B两点的坐标，作辅助线构建两个直角三角形，利用平行相似得比例式得出$\frac{OB}{OA}$等于A、B两点的纵坐标之比，由双曲线y=$\frac{3}{x}（x＞0），y=\frac{6}{x}$（x＞0）计算出结论．

解答 解：设A（a，ka）、B（b，kb），
分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，
则AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BD}{AC}$=$\frac{kb}{ka}$=$\frac{b}{a}$，
∵点A在双曲线y=$\frac{3}{x}$上，
∴ka²=3，k=$\frac{3}{{a}^{2}}$，
∵点B在双曲线y=$\frac{6}{x}$上，
∴kb²=6，k=$\frac{6}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{3}{{a}^{2}}=\frac{6}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∵A、B在第一象限，则a＞0，b＞0，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解此类题的思路为：先根据一个函数表示出交点的坐标，再利用另一个函数列方程或比例式求解，综合性较强．此题还通过作坐标轴的垂线构建相似三角形或全等三角形，利用它们的性质列式计算．