Question

如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2

3

），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,坐标与图形性质

专题：计算题

分析：作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，AB与y轴交于C，如图，根据切线的性质得∠OBA=90°，再利用“AAS”证明△OBC≌△ADC，得到OC=AC，BC=CD，设OC=t，则AC=t，CD=2

3

-t，在Rt△ACD中利用勾股定理得（2

3

-t）²+2²=t²，解得t=

4 3

3

，则BC=CD=

2 3

3

，于是根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BOC=30°，然后在Rt△OBE中计算出BE=

1

2

OB=1，OE=

3

BE=

3

，再利用第二象限点的坐标特征写出B点坐标．

解答：解：作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，AB与y轴交于C，如图，
∵点A的坐标为（2，2

3

），
∴AD=2，OD=2

3

，
∵直线AB为⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
在△OBC和△ACD中，

∠OBC=∠ADC ∠OCB=∠ACD OB=AD

，
∴△OBC≌△ADC，
∴OC=AC，BC=CD，
设OC=t，则AC=t，CD=2

3

-t，
在Rt△ACD中，∵CD²+AD²=AC²，
∴（2

3

-t）²+2²=t²，解得t=

4 3

3

，
∴BC=CD=2

3

-

4 3

3

=

2 3

3

，
∴∠BOC=30°，
在Rt△OBE中，∵∠BOE=30°，
∴BE=

1

2

OB=1，
OE=

3

BE=

3

，
∴B点坐标为（-1，

3

）．
故答案为（-1，

3

）．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质、勾股定理．