Question

如图，在Rt△CAB与Rt△CEF中，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE，AC与EF相交于点G，BC=15，AC=20．
（1）求证：∠CEF=∠CAF；
（2）若AE=7，求AF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE可以得出△CAB∽△CFE，可以得出

CA

CB

=

CF

CE

，∠B=∠CEF，由等式的性质就可以得出∠BCE=GCF，就可以得出△BCE∽△ACF就可以得出结论；
（2）由勾股定理可以得出AB，可以得出BE的值由△BCE∽△ACF就可以得出

BC

AC

=

BE

AF

，进而求出结论．

解答：解：（1）证明：∵∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE，
∴△CAB∽△CFE，
∴

CA

CB

=

CF

CE

，∠B=∠CEF．
∵∠ACB=∠FCE，
∴∠ACB-∠ACE=∠FCE-∠ACE，
∴∠ACF=∠BCE，
∴△BCE∽△ACF，
∴∠B=∠EAF，
∴∠CEF=∠CAF；
（2）∵∠ACB=90°，BC=15，AC=20，
∴由勾股定理，得
AB=25．
∵AE=7，
∴BE=18．
∵△BCE∽△ACF，
∴

BC

AC

=

BE

AF

，
∴

15

20

=

18

AF

，
∴AF=24．
答：AF=24．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形相似是关键．