Question

如图1，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，⊙O经过点A，分别交于AC，AB于D，E，且∠1=∠A
（1）猜想：直线BD与⊙O的位置关系为

 

，并证明你的猜想．
（2）如图2，当AD：AO=5：3，BC=20cm时，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结OD，如图1，由互余得∠1+∠3=90°，而∠1=∠A，则∠A+∠3=90°，加上∠A=∠2，则∠2+∠3=90°，则根据切线的判定定理可得直线BD为⊙O的切线；
（2）如图2，连结DE，根据圆周角定理得∠ADE=90°，易证得Rt△ADE∽Rt△BCD，利用相似比得BD=

AE

AD

•BC，然后根据AD：AO=5：3和BC=20可计算出BD的长．

解答：解：（1）直线BD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图1，
∵∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，
而∠1=∠A，
∴∠A+∠3=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠2，
∴∠2+∠3=90°，即∠ODB=90°，
∴OD⊥BD，
∴直线BD为⊙O的切线．
故答案为相切；
（2）解：如图2，连结DE，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠1=∠A，
∴Rt△ADE∽Rt△BCD，
∴

AD

BC

=

AE

BD

，
∴BD=

AE

AD

•BC，
∵AD：AO=5：3，
∴AD：AE=5：6，
∴BD=

6

5

×20=24（cm）．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．