Question

已知矩形ABCD中，AB=2，BC=8，问：在BC边上是否能找到一个点P，使PA⊥PD？如果存在就求出BP的长；如果不存在，请说明理由．如果长度改变，AB=2，BC=4，结果又如何？

Answer 1

解：①在矩形ABCD中，当AB=2，BC=8时，在BC边上能找到一个点P，使PA⊥PD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=2．
又∵PA⊥PD，
∴∠BPA+∠A=∠BPA+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
=，
解得，BP=4±2；

②在矩形ABCD中，当AB=2，BC=4时，在BC边上能找到一个点P，使PA⊥PD．
同理，得△ABP∽△PCD，则=，
∵PC=BC-BP=4-BP，
∴=，
解得，BP=2．
分析：根据矩形的对边相等、四边内角都是直角的性质以及相似三角形（△ABP∽△PCD）的对应边成比例来求线段BP的长度．
点评：本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角．