Question

如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，
（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；
（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）运用三角形相似，对应边比值相等即可解决，
（2）运用三角形面积的关系得出，对应边的关系，即可解决，
（3）根据相似三角形的判定得出

OA

PA

=

PD

PC

，进而求出关于x的方程，利用根的判别式求出即可．

解答：（1）解：∵PE⊥CP，
∴可得：△EAP∽△PDC，
∴

AE

PD

=

PA

CD

，
又∵CD=2，AD=3，设PD=x，
AE=y，
∴

y

x

=

3-x

2

，
∴y=-

1

2

x2+

3

2

x，
0＜x＜3；

（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，
则：相似比为2：1，
∴

AE

PD

=

AP

CD

=

1

2

，
∵CD=2，
∴AP=1，PD=2，
∴PE=

2

，PC=2

2

，
∴EC=

10

．

（3）不存在．
作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF
∵AF⊥PE，CP⊥PE
∴AF=CP=

x2+22

，
PE=

(3-x)2+y2

，
∵△CDP∽△POA
∴

OA

PA

=

PD

PC

，
OA=

(3-x)x

x2-22

，
若OA=

1

2

AF

(3-x)x

x2+22

=

1

2

x2+22

，
3x²-6x+4=0
△=6²-4×4×3=-12
x无解
因此，不存在．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方．