Question

11．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA²=OE•OP；③S_△AOD=S_{四边形OECF}；④当BP=1时，tan∠OAE=$\frac{13}{16}$，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO²=OD•OP，由OD≠OE，得到OA²≠OE•OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S_△ADF-S_△DFO=S_△DCE-S_△DOF，即S_△AOD=S_{四边形OECF}；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE=$\frac{3}{4}$，求得QE=$\frac{13}{4}$，QO=$\frac{13}{5}$，OE=$\frac{39}{20}$，由三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAP=∠ABQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{OP}{OA}$，
∴AO²=OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA²≠OE•OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中$\left\{\begin{array}{l}{∠FCQ=∠EBP}\\{∠Q=∠P}\\{CQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△CQF≌△BPE，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADC=∠DCE}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE，
∴S_△ADF-S_△DFO=S_△DCE-S_△DOF，
即S_△AOD=S_{四边形OECF}；故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4，
∵△PBE∽△DAP，
∴$\frac{PB}{EB}=\frac{PA}{DA}=\frac{4}{3}$，
∴BE=$\frac{3}{4}$，∴QE=$\frac{13}{4}$，
∵△QOE∽△PAD，
∴$\frac{QO}{PA}=\frac{OE}{AD}=\frac{QE}{PD}=\frac{\frac{13}{4}}{5}$，
∴QO=$\frac{13}{5}$，OE=$\frac{39}{20}$，
∴AO=5-QO=$\frac{12}{5}$，
∴tan∠OAE=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{13}{16}$，故④正确，
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．