Question

如图4­3­47，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤ 15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：AE＝DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

解：(1)在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF.

(2)能．理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．

当AE＝AD时，四边形AEFD是菱形，即60－4t＝2t.

解得t＝10 s，

∴当t＝10 s时，四边形AEFD为菱形．

(3)①当∠DEF＝90°时，由(2)知EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°.

∵∠A＝60°，∴AD＝AE·cos60°＝t.

又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12 s.

②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．

在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30°.

∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝ s.

③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．

综上所述，当t＝ s或t＝12 s时，△DEF为直角三角形．