Question

如图，在?ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠C=∠EFB．
①求证：BC•AF=BF•DE；
②若∠AED=30°，AB=5

3

，AF=3，求CE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：（1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE=∠C，根据等角的补角相等可得出∠ADE=∠AFB，根据AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，这样就构成了两三角形相似的条件．
（2）根据△ABF∽△EAD得到

AB

AE

=

AF

ED

，根据∠AED=30°、AB=5

3

得到BE=5，AE=10代入即可解得：ED=2

3

，从而得到CE=3

3

．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD．
∴

AD

BF

=

DE

AF

即：AD•AF=BF•DE
∵AD=BC
∴BC•AF=BF•DE．
（2）∵△ABF∽△EAD
∴

AB

AE

=

AF

ED

∵∠AED=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=5

3

，
∴BE=5，AE=10，
即：

5 3

10

=

3

ED

解得：ED=2

3

∴CE=3

3

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到相等的角和相等的线段．