Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，E是边CA上任意一点，DF⊥DE，交BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交AB于点H．
（1）说明：AE=CF；
（2）连接DG，说明：CG=GD；
（3）若AE=1，CH=4，求边AC的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）通过全等三角形（△AED≌△CFD）的对应边相等证得AE=CF；
（2）根据Rt△ECF和Rt△EDF斜边上中线的性质来证明CG=GD；
（3）求出EF的长是4，在Rt△ECF中，CF=1，根据勾股定理求出EC，即可求出AC．

解答：解：（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵CD为AB边上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，
即∠A=∠DCF，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△AED和△CFD中，

∠A=∠DFC amp;  AD=CD amp;  ∠ADE=∠CDF amp;

 
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；
（2）∵∠ACB=90°，G为EF的中点，
∴CG=

1

2

EF，
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
∴GD=

1

2

EF，
∴CG=GD；
（3）∵AC=BC，CD是AB边上的中线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵CG=DG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=

1

2

CH=2，
∵G为EF的中点，
∴DG=

1

2

EF，
∴EF=4，
∵AE=1，
∴CF=AE=1，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
CE=

42-12

=

15

，
∴AC=CE+AE=

15

+1．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上1的中线性质以及勾股定理等知识的综合运用，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．