Question

12．现有边长为4cm的正方形纸片ABCD，点P在AD上，将正方形纸片ABCD折叠使点B落在点P处，点C落在点H处，PH与CD交于点G，折痕为EF，连接EG．
（1）求证：△AEP∽△DPG；
（2）当点P在AD上移动（点P不与A、D重合），三角形DPG的周长是否改变？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据两角相等证明两三角形相似；
（2）三角形DPG的周长是一定值，不发生变化．由△AEP∽△DPG，两个三角形的周长的比是AE：PD，设AP=x，根据勾股定理可以用x表示出PD的长与△PAE的周长，根据周长的比等于相似比，即可求解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，
由折叠得：∠EPH=∠B=90°，
∴∠APE+∠DPG=∠APE+∠AEP=90°，
∴∠DPG=∠AEP，
∴△AEP∽△DPG；

（2）△PDG的周长保持不变，
设AP=x，则PD=4-x，
由折叠性质可知，EP=4-AE，
在Rt△AEP中，AE²+AP²=EP²，即AE²+x²=（4-AE）²，
整理得：AE²+x²=16-8AE+AE²，
∴AE=$\frac{16-{x}^{2}}{8}$，
由（1）得：△AEP∽△DPG，
∴△AEP的周长：△DPG的周长=AE：PD，
∴△DPG的周长=$\frac{△AEP的周长×PD}{AE}$=$\frac{（x+AE+4-AE）×（4-x）}{AE}$=（4+x）•（4-x）$÷\frac{16-{x}^{2}}{8}$=8，
∴△GDP的周长保持不变．

点评 此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．