Question

5．如图，已知，A（0，4），B（-3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过D点．
（1）证明四边形ABCD为菱形；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）已知在y=$\frac{k}{x}$的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A（0，4），B（-3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；
（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；
（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．

解答 解：（1）∵A（0，4），B（-3，0），C（2，0），
∴OA=4，OB=3，OC=2，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，BC=5，
∴AB=BC，
∵D为B点关于AC的对称点，
∴AB=AD，CB=CD，
∴AB=AD=CD=CB，
∴四边形ABCD为菱形；

（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过D点，
∴4=$\frac{k}{5}$，
∴k=20，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{20}{x}$；

（3）∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AN∥BM，AN=BM，
∴AN是BM经过平移得到的，
∴首先BM向右平移了3个单位长度，
∴N点的横坐标为3，
代入y=$\frac{20}{x}$，
得y=$\frac{20}{3}$，
∴M点的纵坐标为：$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$，
∴M点的坐标为：（0，$\frac{8}{3}$）．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．