Question

20．有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx²-（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：
甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？
乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．

Answer 1

分析 （1）首先根据一元二次方程的定义得出k≠0，再计算△=（k+2）²-4k×2=（k-2）²≥0，由判别式的意义即可判定方程有实数根；
（2）利用因式分解法求出方程的两根为x₁=1，x₂=$\frac{2}{k}$，根据方程有两个不相等的正整数根，得出整数k=1．

解答 解：（1）∵kx²-（k+2）x+2=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，
∴k≠0，
∵△=（k+2）²-4k×2=（k-2）²≥0，
∴方程有实数根；

（2）kx²-（k+2）x+2=0，
（x-1）（kx-2）=0，
x-1=0，或kx-2=0，
解得x₁=1，x₂=$\frac{2}{k}$，
∵方程有两个不相等的正整数根，且k为整数，
∴k=1或2，
∵k=2时，x₁=x₂=1，两根相等，不合题意舍去，
∴k=1．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
也考查了因式分解法解一元二次方程．