题目内容
如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′，∠C=∠C′，求证：| AD |
| A′D′ |
| BE |
| B′E′ |
考点：相似三角形的性质
专题：证明题
分析：根据相似三角形对应角相等可得∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，然后求出△ABD和△A′B′D′相似，再根据相似三角形对应边成比例可得
=
，同理求出△ABE和△A′B′E′相似，再根据相似三角形对应边成比例可得
=
，然后等量代换即可得证．
| AD |
| A′D′ |
| AB |
| A′B′ |
| BE |
| B′E′ |
| AB |
| A′B′ |
解答：证明：∵△ABD∽△A′B′D′，
∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，
∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴
=
，
同理可求△ABE∽△A′B′E′，
∴
=
，
∴
=
．
∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，
∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴
| AD |
| A′D′ |
| AB |
| A′B′ |
同理可求△ABE∽△A′B′E′，
∴
| BE |
| B′E′ |
| AB |
| A′B′ |
∴
| AD |
| A′D′ |
| BE |
| B′E′ |
点评：本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键，难点在于根据相似三角形对应角相等再求出两条对应高所在的三角形相似．
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