Question

10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若BD=4，AC=3，求cos∠CDE的值．

Answer 1

分析 （1）想办法证明AC∥DE，AD∥CE即可；
（2）只要证明∠CDE=∠E，再想办法求出cos∠E即可；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∠BOC=90°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BOC，
∴AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形．

（2）解：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∵AD=BC，
∴BC=CE，
∵∠BDE=90°，
∴DC=CE，
∴∠CDE=∠E
∴cos∠CDE=cos∠E，
∵BD=4，AC=3，∠BDE=90°，
∴BE=5，
∴cos∠E=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠CDE=cos∠E=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，学会用转化的思想思考问题．