Question

3．操作发现
（1）如图1，已知△ABC，边BC绕点B旋转至BC′位置，试在图中画出△ABC以同样方式旋转得到的图形△A′BC′．
（2）如图2，在△ABC中，AB=6，AC=4．分别以AB、AC为边向外作△ABD和△ACE，使∠BAD=∠CAE，AD=8，AE=3．连接BE、CD，判断BE与CD有什么数量关系？并说明理由．
（3）如图3，某单位拟扩建花坛，已经测得花坛固定部分△ABD中∠A=45°，AD=6$\sqrt{2}$，AB=7．花坛扩建部分△DBC必须保持DB=DC，那么当扩建后花坛四边形ABCD面积最大时，A、C两点之间的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）作∠ABA′=∠CBC′，然后截取A′B=AB，C′B=CB，连接A′B，A′C′，C′B，△A′BC′即为所求；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）过D点作DE垂直于AD，交AB延长线于E点，连接CE，如图，则△DAE和△DBC为等腰直角三角形，根据其性质，可得△ABD≌△ECD，进而得到CE是高，且CE=AB，最后根据勾股定理求出即可．

解答 解：（1）如图所示，△A′BC′即为所求；

（2）连接DC，BE，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠DAC=∠EAB，
∵AB=6，AC=4，AD=8，AE=3
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，$\frac{AC}{AE}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ADC∽△ABE，
∴$\frac{DC}{BE}=\frac{AC}{AE}=\frac{4}{3}$；

（3）要使扩建后花坛四边形ABCD面积最大，
∵△ABD为固定部分，
∴△BCD的面积最大，
∴当BD⊥CD时，△BCD的面积最大，
∵BD=CD，
∴△BCD为等腰直角三角形，
如图3，过D点作DE垂直于AD，交AB延长线于E点，连接CE，AC，
则△DAE为等腰直角三角形
∴∠2=45°，
∵BD⊥CD，∠DAB=∠DBC=45°，
在△ABD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECD，
∴∠1=∠DAB=45°，
∴∠CEB=90°，
∴CE是高，且CE=AB=7，
∴AE=$\sqrt{2}$AD=12，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{193}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，基本作图，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线，构建等腰直角三角形，是解答本题的关键．