Question

17．在求1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶①然后在①式的两边都乘以2，得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷ ②；②-①得2S-S=2⁷-1，S=2⁷-1，即1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶=2⁷-1．
（1）求1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶的值；
（2）求1+a+a²+a³+…+a²⁰¹³（a≠0且a≠1）的值．

Answer 1

分析 （1）将1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶乘3，减去1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶，把它们的结果除以3-1=2即可求解；
（2）将1+a+a²+a³+…+a²⁰¹³乘a，减去1+a+a²+a³+…+a²⁰¹³，把它们的结果除以a-1即可求解．

解答 解：（1）1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶
=[（1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶）×3-（1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶）]÷（3-1）
=[（3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷）-（1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶）]÷2
=（3⁷-1）÷2
=2186÷2
=1093；
（2）1+a+a²+a³+…+a²⁰¹³（a≠0且a≠1）
═[（1+a+a²+a³+…+a²⁰¹³）×a-（1+a+a²+a³+…+a²⁰¹³）]÷（a-1）
=[（a+a²+a³+…+a²⁰¹³+a²⁰¹⁴）-（1+a+a²+a³+…+a²⁰¹³）]÷（a-1）
=（a²⁰¹⁴-1）÷（a-1）
=$\frac{{a}^{2014}-1}{a-1}$．

点评 本题考查了整式的混合运算，有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比数列的求和方法是解题的关键．