Question

12．△ABC中，∠ACB=90°，点D是AC上一点，CE⊥BD于E，∠DAE=∠ABD，求证：
（1）△DAE∽△DBA：
（2）AD=CD．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{AD}$，于是得到AD²=DE•BD，由△CDE∽△BCD，得到$\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{CD}$，于是得到CD²=DE•BD，等量代换得到AD²=CD²，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，
∴△DAE∽△DBA；

（2）∵△DAE∽△DBA，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{AD}$，
∴AD²=DE•BD，
∵CE⊥BD，
∴∠ACB=∠CDE=90°，
∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BCD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{CD}$，
∴CD²=DE•BD，
∴AD²=CD²，
∴AD=CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．