Question

4．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．
（1）求证：AB是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=$\frac{5}{3}$，AB：BC=2：3，求圆的直径．

Answer 1

分析 （1）欲证明AB是圆的切线，只要证明∠ABC=90°即可．
（2）在RT△AEB中，根据tan∠AEB=$\frac{5}{3}$，求出BC，在RT△ABC中，根据$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$求出AB即可．

解答 （1）证明：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠DBC=90°，
∵∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC=90°
∴∠ABC=90°
∴AB⊥BC，
∴AB是圆的切线．
（2）解：在RT△AEB中，tan∠AEB=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{5}{3}$，即AB=$\frac{5}{3}$BE=$\frac{20}{3}$，
在RT△ABC中，$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$AB=10，
∴圆的直径为10．

点评 本题考查切线的判定、三角函数等知识，解题的关键是记住经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，属于中考常考题型．