Question

17．已知：如图，点A，B，C三点在⊙O上，AE平分∠BAC，交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC，连结BE．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）如果DE=a，AE=b，写出求BE的长的思路．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，连接半径，由角平分线得：∠BAE=∠CAE，圆周角相等，则弧相等，再由垂径定理证明OE⊥BC，所以OE⊥l，直线l与⊙O相切；
（2）根据∠BAE=∠CAE、∠CAE=∠CBE结合公共角证△ABE∽△BDE可得$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{BE}$，从而得出答案．

解答 解：（1）如图，连接OE、OB、OC，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，
∴∠BOE=∠COE，
∵OB=OC，
∴OE⊥BC，
∵l∥BC，
∴OE⊥l，
∴直线l是⊙O的切线；

（2）∵∠BAE=∠CAE，∠CAE=∠CBE，
∴∠BAE=∠DBE，
又∵∠AEB=∠BED，
∴△ABE∽△BDE，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴BE²=AE•DE=ab．

点评 本题主要考查切线的判定与性质、角平分线性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．