Question

如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，将正方形折叠，使点A和点M重合，折痕为EF，求EF和AE的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：在Rt△ABM中，利用勾股定理，求出AM的长度；通过AA证明△EAG∽△MAB，根据相似三角形的性质可得AE的长；过F作FH⊥AB，垂足为H，证明△FHE≌△ABM，根据全等三角形的性质即可求解．

解答：解：在Rt△ABM中，AB=2，BM=

1

2

BC=1，
由勾股定理得AM=

22+12

=

5

，
由折叠的性质可知AN=

1

2

AM=

5

2

，AM⊥EF，
∴∠AGE=90°，
又∵∠EAG=∠MAB，
∴△EAG∽△MAB，
∴AE：AM=AG：AB
即AE：

5

=

5

2

：2，
解得AE=

5

4

，
过F作FH⊥AB，垂足为H，
在△FHE与△ABM中，

∠HEF=∠AMB ∠FHE=∠ABM=90 FH=AB

，
∴△FHE≌△ABM（AAS），
∴EF=AM=

5

．

点评：考查了翻折问题，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的．本题中利用相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的知识就迎刃而解．