Question

5．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}；\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}；\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；…．以此类推！
（1）猜想并写出：$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）根据以上规律计算：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…$\frac{1}{n×（n+1）}$；
②$\frac{1}{（x-1）（x-2）}$+$\frac{1}{（x-2）（x-3）}$+…+$\frac{1}{（x-2013）（x-2014）}$+$\frac{1}{（x-2014）（x-2015）}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，写出即可；
（2）①原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；②原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
②原式=$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-2}$+…+$\frac{1}{x-2015}$-$\frac{1}{x-2014}$=$\frac{1}{x-2015}$-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{x-1-x+2015}{（x-1）（x-2015）}$=$\frac{2014}{（x-1）（x-2015）}$．
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$

点评 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．