Question

【题目】如图，在中，，以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．点在斜边上，以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过点．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）直线AC与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】

（1）连接OF，如图，利用基本作图得到BF平分∠ABC，则∠OBF=∠CBF，再证明OF∥BC得到∠OFA=∠C=90°，然后根据切线的判定定理可判断AC为⊙O的切线；

（2）先在Rt△ABC中利用正切定义计算出AC=8，则利用勾股定理可计算出AB=10，设⊙O的半径为r，则OF=OB=r，OA=10-r，利用平行线分线段成比例得到AO：AB=OF：BC，然后利用比例性质求出r即可．

（1）AC与⊙O相切．

理由如下：连接OF，如图，

由作法得，BF平分∠ABC，

∴∠OBF=∠CBF，

∵OB=OF，

∴∠OBF=∠OFB，

∴∠OFB=∠CBF，

∴OF∥BC，

∴∠OFA=∠C=90°，

∴OF⊥AC，

∴AC为⊙O的切线；

（2）在Rt△ABC中，，

∴，

∴，

设⊙O的半径为r，则OF=OB=r，OA=10-r，

∵OF∥BC，

∴AO：AB=OF：BC，

即（10-r）：10=r：6，解得r=，

即⊙O的半径为．