Question

例题：计算：
（1）1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+100

；（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（2）1949²-1950²+1951²-1952²+…+1997²-1998²+1999²；（北京市竞赛题）
（3）5+5²+5³+…十5²⁰⁰²．

Answer 1

考点：平方差公式,有理数的混合运算,规律型：数字的变化类

专题：计算题

分析：（1）首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；
（2）使人易联想到平方差公式；
（3）由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．

解答：解：（1）根据题意观察得出第n项的一般形式为：

1

n(n+1) 2

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+100

，
=2（1-

1

2

）+2（

1

2

-

1

3

）+2（

1

3

-

1

4

）+…+2（

1

100

-

1

101

），
=

200

101

；

（2）1949²-1950²+1951²-1952²+…+1997²-1998²+1999²，
=（1949-1950）（1949+1950）+（1951-1952）（1951+1952）+…+（1997-1998）（1997+1998）+1999²，
=-（1949+1950+1951+1952+…+1997+1998）+1999²，
=-98675+3996001，
=3897326；

（3）设x=5+5²+5³+…+5²⁰⁰²，则5x=5²+5³+…+5²⁰⁰²+5²⁰⁰³，
所以4x=5²+5³+…+5²⁰⁰²+5²⁰⁰³-（5+5²+5³+…+5²⁰⁰²）=5²⁰⁰³-5，
∴x=

52003-5

4

．

点评：本题考查了平方差公式及有理数的混合运算，难度比较大，重点掌握（a+b）（a-b）=a²-b²．