Question

8．已知直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴和y轴分别交于B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）证明：△ABD是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）分别令函数解析式中x=0、y=0，求出对应的y、x的值，即可得出点A、B的坐标；
（2）结合点B、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD的解析式；
（3）过点D作DM⊥y轴于点M，根据勾股定理求出AD²和AB²，由两点间的距离公式求出BD²，即可得出三者满足AD²=AB²+BD²，从而证得△ABD是直角三角形．

解答 解：（1）令y=-$\frac{4}{3}$x+4中x=0，则y=4，
∴点A（0，4）；
令y=-$\frac{4}{3}$x+4中y=0，则-$\frac{4}{3}$x+4=0，解得：x=3，
∴点B（3，0）．
（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点B（3，0）、D（11，6）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{11k+b=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$．
（3）证明：过点D作DM⊥y轴于点M，如图所示．
∵点A（0，4），点B（3，0），点D（11，6），
∴DM=11，OB=3，OA=4，AM=6-4=2，
由勾股定理可得：AD²=DM²+AM²=125，AB²=OA²+OB²=25，
又∵BD²=（11-3）²+（6-0）²=100，
∴AD²=AB²+BD²，
∴△ABD是直角三角形．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、勾股定理以及直角三角形的判定，解题的关键是：（1）分别代入x=0、y=0；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）找出AD²=AB²+BD²．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．