Question

16．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交线段AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状是直角三角形（填锐角、直角或钝角）
（2）请添加一个条件，使得△ADE≌△BCD，并说明理由．
（3）在点D运动的过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，∠CDE=30°，可得∠BCD=30°，再由∠ACB=120°，即可推出∠ACD=90°，即可推出△ACD的形状为直角三角形；
（2）根据BC=AD，得到AC=AD，∠ACD=∠ADC，由已知条件即可推出∠A=∠B=30°，即可推出∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，再由∠A=∠CDE=30°，即可推出∠AED=∠BDC，然后通过全等三角形的判定定理“AAS”即可推出结论；
（3）分EC=DE、CD=DE、EC=CD三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，∠CDE=30°，
∴∠BCD=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD的形状为直角三角形，
故答案为：直角；
（2）添加条件AD=BC，
∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC，∠A=∠B=30°，
∵∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，
∴∠A=∠CDE，∠AED=∠BDC，
∴∠AED=∠BDC，
∵在△AED和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AED=∠BDC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCD；
（3）△ECD可以是等腰三角形．
理由如下：①当EC=DE时，∠CDE=∠ECD，
∴∠ECD=∠CDE=30°，
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，
∴∠AED=60°，
②当CD=DE时，∠ECD=∠CED，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，
∴∠CED=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠AED=180°-∠CED=105°，
③当EC=CD时，∠CED=∠CDE，
∠ACD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°，
∵∠ACB=120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105．

点评 本题考查的是三角形的有关知识，掌握直角三角形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键．