Question

14．如图，四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE与∠BCD的角平分线CA相交于E点，DE交BC于点F，连结AF，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°．
（1）求证：AD∥BC；
（2）当AD=5，DE=3时，求CE的长度．

Answer 1

分析 （1）首先求得∠ADC的度数和∠DCB的度数，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得；
（2）由已知条件易证△DAE≌△DEC，所以可得CE=AE，由勾股定理求出AE的长，进而可得CE的长．

解答 解：
（1）∵DE平分∠ADC，CA平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠CDE=116°，∠BCD=2∠ACD=64°
∵∠ADC+∠BCD=116°+64°=180°
∴AD∥BC；
（2）∵∠DCC=180°-∠ACD-∠CDE=90°，
∴DF⊥AC，
在△DAE和△DEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDE}\\{∠DEA=∠DEC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DEC，
∴CE=AE，
在Rt△DEA中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=4，
∴CE=4．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质、平行线的判断以及勾股定理的运用，证明CE=AE是解题的关键．