Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（-2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y₁＜y₂＜0时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S_△AOB=S_△AOC+S_△COB，计算即可；
（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．

解答 解：（1）∵A（-2，1），
∴将A坐标代入反比例函数解析式y₂=$\frac{m}{x}$中，得m=-2，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$；
将B坐标代入y=-$\frac{2}{x}$，得n=-2，
∴B坐标（1，-2），
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=1}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=-1，
∴一次函数解析式为y₁=-x-1；

（2）设直线AB与y轴交于点C，
令x=0，得y=-1，
∴点C坐标（0，-1），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{3}{2}$；

（3）由图象可得，当y₁＜y₂＜0时，自变量x的取值范围x＞1．

点评 本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．