Question

16．如图，⊙O的直径为10，OC⊥AB于点D，CD=3，P为⊙O上一点，连接PC，则tan∠APC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 连接BE、OB，由垂径定理得出$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，∠ODB=90°，由圆周角定理得出∠APC=∠E，求出DE=CE-CD=7，OC=OB=5，得出OD=2，由勾股定理求出BD，tan∠APC=tan∠E=$\frac{BD}{DE}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$即可．

解答 解：如图所示：连接BE、OB，
∵OC⊥AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，∠ODB=90°，
∴∠APC=∠E，
∵CE是⊙O的直径，
∴CE=10，
∴DE=CE-CD=7，OC=OB=5，
∴OD=2，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴tan∠APC=tan∠E=$\frac{BD}{DE}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、三角函数；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由圆周角定理得出∠APC=∠E是解决问题的关键．