Question

9．正整数1，2，…9999被分为两组，第一组中是这样的一些整数，离它们最近的完全平方数是奇数．第二组中则是离它们最近的完全平方数是偶数的整数．问：哪一组中数的和较大？（注：1，4，9，16，25，…等为完全平方数）

Answer 1

分析 定义数列{An}=1，4，9，16，25…通项公式是：A_n=n²（1≤n＜100），而介于A_n和A_n+1的中间的数为：$\frac{1}{2}$（A_n+A_n+1）=$\frac{1}{2}$[n²+（n+1）²]=n²+n+$\frac{1}{2}$
所以，介于A_n和A_n+1之间的所有正整数中：n²+1…n²+n 的这些数，距离它们最近的完全平方数是n²． 当n是奇数时，这些数属于第一组，当n是偶数时属于第二组．它们的总和是：s₁（n）=n³+$\frac{1}{2}$n（n+1）；n²+n+1…（n+1）²-1的这些数，距离它们最近的完全平方数是（n+1）²．当n是奇数时，属于第二组，当n是偶数时，属于第一组．它们的总和是：s₂（n）=n³+n²+$\frac{1}{2}$n（n+1）；所以：第一组数的总和是：S₁=s₁（1）+s₁（3）+…+s₁（99）+s₂（2）+s₂（4）+…+s₂（98），第二组数的总和是：S₂=s₁（2）+s₁（4）+…+s₁（98）+s₂（1）+s₂（3）+…+s₂（99）；再用作差法即可求解．

解答 解：定义数列{A_n}=1，4，9，16，25…通项公式是：A_n=n²（1≤n＜100），
而对于数列{A_n}中，任意连续的两项：A_n和 An+1中：
A_n=n²，
A_n+1=（n+1）²，
而介于A_n和A_n+1的中间的数为：$\frac{1}{2}$（A_n+A_n+1）=$\frac{1}{2}$[n²+（n+1）²]=n²+n+$\frac{1}{2}$，
所以，介于A_n和A_n+1之间的所有正整数中：
n²+1…n²+n 的这些数，距离它们最近的完全平方数是n²． 当n是奇数时，这些数属于第一组，当n是偶数时属于第二组．它们的总和是：s₁（n）=n³+$\frac{1}{2}$n（n+1），
n²+n+1…（n+1）²-1的这些数，距离它们最近的完全平方数是（n+1）²．当n是奇数时，属于第二组，当n是偶数时，属于第一组．它们的总和是：s₂（n）=n³+n²+$\frac{1}{2}$n（n+1），
所以：第一组数的总和是：S₁=s₁（1）+s₁（3）+…+s₁（99）+s₂（2）+s₂（4）+…+s₂（98），
第二组数的总和是：S₂=s₁（2）+s₁（4）+…+s₁（98）+s₂（1）+s₂（3）+…+s₂（99），
现在计算：s₁（n+1）-s₁（n） 和 s₂（n+1）-s₂（n），结果分别是：
s₁（n+1）-s₁（n）=（n+1）³-n³+n+1=3n²+4n+2…（i），
s₂（n+1）-s₂（n）=（n+1）³+（n+1）²-n²+n+1=3n²+6n+3…（ii），
可以看出：（ii）式的结果大于（i）式．而：（ii）-（i）得：（ii）-（i）=2n+1，
现在计算：S2-S₁，如下：
S₂-S₁=[s₁（2）-s₁（1）]+[s₁（4）-s₁（3）]+…+[s₁（98）-s₁（97）]+[s₂（1）-s₂（2）]+[s₂（3）-s₂（4）]+…+[s₂（97）-s₂（98）]+[s₂（99）-s₁（99）]
=[s₁（2）-s₁（1）]+[s₁（4）-s₁（3）]+…+[s₁（98）-s₁（97）]-[s₂（2）-s₂（1）]-[s₂（4）-s₂（3）]-…-[s₂（98）-s₂（97）]+[s₂（99）-s₁（99）]
=-（2×1+1）-（2×3+1）-…-（2×97+1）+99²
=-49-49×（97+1）+99²=-49-49-49×97+99²
=-98-49×97+99²=9801-4753-98=4950＞0，
所以：S₂-S₁＞0，
第二组的数的和更大一些．

点评 考查了完全平方数，解题的关键是得到第一组数的总和和第二组数的总和，从而可解决此类问题．