Question

9．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=2，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，边AE交边BC于点F，如果DE∥AB，那么$\frac{CF}{BF}$的值是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 作AM⊥BC垂足为M，先求出AM、BM、MC，再证明CA=CF，由此即可解决问题．

解答 解：如图作AM⊥BC垂足为M，

∵△ADE是由△ADC翻折，
∴∠C=∠E=30°，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠BAF=30°，
∴∠AFC=∠B+∠BAF=75°，
∴∠CAF=180°-∠AFC-∠C=75°，
∴∠CAF=∠CFA=75°，
∴CA=CF=2，
在RT△AMC中，∵∠C=30°，AC=2，
∴AM=1，MC=$\sqrt{3}$，
∵∠B=∠BAM=45°，
∴MB=AM=1，
∴BC=1+$\sqrt{3}$，BF=1+$\sqrt{3}$-2=$\sqrt{3}$-1
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案为$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键，解题时要善于发现特殊三角形，属于中考常考题型．