Question

5．如图，抛物线y=ax²+bx过点A（4，0），正方形 OABC的边BC与抛物线的一个交点为D，点D的横坐标为3，点M在y轴负半轴上，直线l过点D、M两点且与抛物线的对称轴交于点H，tan∠OMD=$\frac{1}{3}$．
（1）直接写出点H的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如果点Q是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q，使得以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线和正方形的对称性求出抛物线的对称轴，结合三角函数即可求出点H的坐标；
（2）写出点D坐标，把点D，点H坐标代入抛物线即可求出抛物线解析式；
（3）由题意知，只要OM=HQ即可，分点Q在H上方和下方进行讨论求解即可．

解答 解：如图1：

（1）由抛物线和正方形的对称性可知，抛物线的对称轴是OA的垂直平分线，
由A（4，0）可知，抛物线的对称轴是直线：x=2，
设直线x=2与BC交于点G，则CG=2，
由CD=3，
∴DG=1，
由GH∥x轴可得，∠GHD=∠OMD，
∴tan∠GHD=$\frac{1}{3}$，
$\frac{GD}{GH}$=$\frac{1}{3}$，GD=1，
解得：GH=3，又正方形边长为4，
可得：4-3=1，
所以点H（2，1）；
（2）把点A（4，0）和D（3，4）代入抛物线解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{9a+3b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为：y$y=-\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{16}{3}x$，
（3）如图2：

HQ=OM=5时，以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形，
∵HQ是抛物线的对称轴，
∴H和Q两点的横坐标均为2，
若以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形，
则HQ=OM即可，
又知H点坐标为（2，1），故对Q点进行讨论，
①当Q点在H点上面时，若HQ=OM，可得Q点坐标为（2，6），
②当Q点在H点下面时，可得Q（2，-4）．

点评 此题主要考查了点的坐标、直线解析式、抛物线解析式的求法，涉及解直角三角形的知识和平行四边形的性质的运用．