Question

17．某商品公司为指导某种应季商品的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查基础上，对今年这种商品的市场售价和生产成本进行了预测并提供了两个方面的信息：如图（1）（2）．

注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份一件商品的售价和成本，生产成本6月份最高；图（1）的图象是线段，图（2）的图象是抛物线．
（1）在3月份出售这种商品，一件商品的利润是多少？
（2）设t月份出售这种商品，一件商品的成本Q（元），求Q关于t的函数解析式．
（3）设t月份出售这种商品，一件商品的利润W（元），求W关于t的函数解析式．
（4）问哪个月出售这种商品，一件商品的利润最大？简单说明理由．

Answer 1

分析 （1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；
（2）根据图象特征设解析式为顶点式易求解析式；
（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，
（4）运用函数性质计算利润．

解答 解：（1）每件商品在3月份出售时的利润为5元；

（2）∵抛物线的顶点坐标为（6，4）
∴设抛物线的解析式为Q=a（t-6）²+4
∵抛物线过（3，1）点
∴1=a（3-6）²+4
解得：a=-$\frac{1}{3}$
∴Q=-$\frac{1}{3}$（t-6）²+4=-$\frac{1}{3}$t²+4t-8，其中t=3、4、5、6、7；
（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b
∵线段过（3，6）、（6，8）两点
∴3k+b=6 6k+b=8
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=4
∴M=$\frac{2}{3}$t+4，其中t=3、4、5、6、7；
∴W=M-Q=（$\frac{2}{3}$t+4）-（-$\frac{1}{3}$t²+4t-8）=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{10}{3}$t+12（其中t=3、4、5、6、7）；
（4）每件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为
W=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{10}{3}$t+12=$\frac{11}{3}$（t-5）²+$\frac{11}{3}$，其中t=3、4、5、6、7
∴当t=3或7时，W的最大值为$\frac{55}{3}$元．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是读懂题意，难度在第3个问题：表示利润．运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法．