Question

12．已知关于x的二次函数y=x²-2（m-1）x-m（m+2）．
（1）试说明：该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），且|x₁-x₂|=6，抛物线与y轴交于负半轴，试求其解析式．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根的判别式直接判定；
（2）由根与系数的关系直接计算即可．

解答 解：（1））令y=0，
∴x²-2（m-1）x-m（m+2）．
∵△=4（m-1）²+4m（m+2）=8m²+4＞0，
∴x²-2（m-1）x-m（m+2）总有两个不相等的实数根．
∴该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）由根与系数的关系，得x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=-m（m+2），
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{4}_{1}x{x}_{2}}$=$\sqrt{8{m}^{2}+4}$=6，
∴m₁=2，m₂=-2，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴-m（m+2）＜0，
∴m=2，
∴抛物线解析式为y=x²-8．．

点评 此题是抛物线与x轴的交点题目，主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解本题的关键理解根与系数的关系．