Question

8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE平分∠ACD，分别交AD，BD于E，EF∥AC交CD于F，连接OE．下列结论：
①EF=AE，②∠AOE=∠AEO，③OG=$\frac{1}{2}$AE，④AB=（$\sqrt{2}$+1）DG；
其中正确的是（　　）

• A． ②③④
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①正确．只要证明EF=CF，CF=AE即可．
②错误．只要说明EF≠OA即可．
③正确．作CA的垂线MA和CE的延长线交于M点，只要证明OG=$\frac{1}{2}$AM，AM=AE即可．
④正确．设GO=x，想办法用x表示DG、AB即可解决问题．

解答 解：∵CE平分∠ACD，EF∥AC，
∴∠FCE=∠ACE，∠ACE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴△CFE是等腰三角形，
∴CF=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA=∠DAC=45°，
∴∠DFE=∠DCA，∠FED=∠DAC，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∴DF=DE∵DC=DA，
∴CF=AE，
∴EF=AE．（故①正确）．
∵EF≠AO，
∴AE≠AO．（故②错误）．

作CA的垂线MA和CE的延长线交于M点，
∵GO=$\frac{1}{2}$MA，
∵CM为∠ACD的平分线，
∴∠DCE=∠ACM，又∠CDE=∠CAM=90°，
∴∠CED=∠M，又∠CED=∠AEM，
∴∠AEM=∠M，
∴MA=AE，
∴GO=$\frac{1}{2}$AE，（故③正确）．

设GO=x，
∵GO=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF=AE=2x，
∴DN=NE=$\frac{1}{2}$EF=x，
∴DE=$\sqrt{2}$x，
∵EF∥AC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$，
∴AC=2（ $\sqrt{2}$+1）x，
∴OD=OA=（ $\sqrt{2}$+1）x，
∴DG=DO-OG=$\sqrt{2}$x，
∵AB=DA=DE+AE=$\sqrt{2}$x+2x，
∴AB=（ $\sqrt{2}$+1）DG．（故④正确）．
故正确的为①③④．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质，平行线的性质以及勾股定理的知识点，解题关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．