Question

9．如图，直角△AOB的斜边OB在x轴正半轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点A，交AB于点C，且AC=BC，OA=3，则k=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图，设A（t，$\frac{k}{t}$），先证明CE为△ADB的中位线得到CE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{2t}$，DE=BE，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（2t，$\frac{k}{2t}$），于是得到DE=BE=t，然后证明△OAD∽△OBA，利用相似比计算出t，再利用勾股定理计算出k．

解答 解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图，
设A（t，$\frac{k}{t}$），
∵CE∥AD，AC=BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{2t}$，DE=BE，
∴C（2t，$\frac{k}{2t}$），
∴DE=BE=t，
∵∠AOD=∠BOA，
∴△OAD∽△OBA，
∴OA：OB=OD：OA，即3：3t=t：3，解得t=$\sqrt{3}$，
在Rt△OAD中，（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{k}{\sqrt{3}}$）²=3²，
∴k=3$\sqrt{2}$．
故答案为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例好图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．解决本题的关键是确定OB与OD的关系．