Question

2．已知：如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S_△MCB．
（3）在坐标轴上，是否存在点N，满足△BCN为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，5），（1，8）三点代入二次函数解析式，解方程组即可．
（2）先求出M、B、C的坐标，根据S_△MCB=S_梯形MEOB-S_△MCE-S_△OBC即可解决问题．
（3）分三种情①C为直角顶点；②B为直角顶点；③N为直角顶点；分别求解即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（-1，0），C（0，5），（1，8），
则有：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{a+b+c=8}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5．

（2）令y=0，得（x-5）（x+1）=0，x₁=5，x₂=-1，
∴B（5，0）．
由y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，得顶点M（2，9）
如图1中，作ME⊥y轴于点E，

可得S_△MCB=S_梯形MEOB-S_△MCE-S_△OBC=$\frac{1}{2}$（2+5）×9-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×5×5=15．   

（3）存在．如图2中，

∵OC=OB=5，
∴△BOC是等腰直角三角形，
①当C为直角顶点时，N₁（-5，0）．
②当B为直角顶点时，N₂（0，-5）．
③当N为直角顶点时，N₃（0，0）．
综上所述，满足条件的点N坐标为（0，0）或（0，-5）或（-5，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、三角形的面积、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．