Question

10．九年级数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价y（单位：元/件）与时间x（单位：天）的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{x+40（0≤x≤50，且x为整数）}\\{90（50＜x≤90，且x为整数）}\end{array}\right.$；在第x天的销售量p（单位：件）与时间x（单位：天）的函数关系的相关信息如表．已知商品的进价为30元/件，每天的销售利润为w（单位：元）．

时间x（天）	1	30	60	90
每天销售量p（件）	198	140	80	20

（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？

Answer 1

分析 （1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；
（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；
（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．

解答 解：（1）设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n
∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），
∴$\left\{\begin{array}{l}{60m+n=80}\\{30m+n=140}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=200}\end{array}\right.$，
∴p=-2x+200（0≤x≤90，且x为整数），
当0≤x≤50时，w=（y-30）•p=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000；
当50＜x≤90时，w=（90-30）（-2x+200）=-120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180X+2000}&{（0≤x≤50，且x为整数）}\\{-120x+12000}&{（50＜x≤90，且x为整数）}\end{array}\right.$．

（2）当0≤x≤50时，w=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∵a=-2＜0且0≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50＜x≤90时，w=-120x+12000，
∵k=-120＜0，w随x增大而减小，
∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，
∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．

（3）当0≤x≤50时，令w=-2x²+180x+2000≥5600，即-2x²+180x-3600≥0，
解得：30≤x≤50，50-30+1=21（天）；
当50＜x≤90时，令w=-120x+12000≥5600，即-120x+6400≥0，
解得：50＜x≤53$\frac{1}{3}$，
∵x为整数，
∴50＜x≤53，53-50=3（天）．
综上可知：21+3=24（天），
故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．

点评 本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（2）利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；（3）得出关于x的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．