Question

16．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=120°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC，PD=2，求AP的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AD、OA，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=60°，根据等腰三角形的性质得到AD=PD=2，根据切线的判定定理得到PA是⊙O的切线，根据切割线定理计算得到答案．

解答 解：连接AD、OA，
∵∠B=120°，∴∠ADC=60°，
∴∠ACD=30°，又AP=AC，
∴∠P=30°，∠DAP=30°，
∴AD=PD=2，则CD=4，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADC=60°，
∴∠OAP=90°，
∴PA是⊙O的切线，
∴PA²=PD•PC=12，
则AP=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质和直角三角形的性质，掌握直角所对的圆周角是直角、圆内接四边形对角互补是解题的关键．