Question

20．阅读、理解并应用探究．
[理解性质]：如图，矩形（长方形）ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD．
[应用]探究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN²=CD²+CN²；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN²=BN²+CD²．
请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．
（2）[探究]试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）若选图①，连接DN，根据线段垂直平分线的性质，得出BN=DN，再根据勾股定理，列出DN²=CD²+CN²，即可得到BN²=CD²+CN²；若选图③，连接AN，根据线段垂直平分线的性质，得出AN=CN，再根据勾股定理，列出AN²=AB²+BN²，即可得到CN²=CD²+BN²；
（2）延长NO交AD于点P，连接PM，MN，先判定△BON≌△DOP（AAS），得出ON=OP，BN=PD，根据线段垂直平分线的性质，得出PM=MN，再根据勾股定理得到PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²，进而得出PD²+DM²=CM²+CN²，即可得到BN²+DM²=CM²+CN²．

解答 解：（1）若选图①，
证明：如图①，连接DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵∠DON=90°，
∴BN=DN，
∵∠NCD=90°，
∴Rt△CDN中，DN²=CD²+CN²，
∴BN²=CD²+CN²；

若选图③，
证明：如图③，连接AN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵∠AON=90°，
∴AN=CN，
∵∠NBA=90°，
∴Rt△ABN中，AN²=AB²+BN²，
又∵AB=CD，AN=CN，
∴CN²=CD²+BN²；

（2）BN²+DM²=CM²+CN²．
理由：如图②，延长NO交AD于点P，连接PM，MN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
在△BON和△DOP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBO=∠PDO}\\{∠BNO=∠DPO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BON≌△DOP（AAS），
∴ON=OP，BN=PD，
∵∠MON=90°，
∴PM=MN，
∵∠PDM=∠NCM=90°，
∴Rt△PDM中，PM²=PD²+DM²，
Rt△NCM中，MN²=CM²+CN²，
∴PD²+DM²=CM²+CN²，
∴BN²+DM²=CM²+CN²．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识点的综合运用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形，运用勾股定理列出表达式．