题目内容
如图①所示，点C将线段AB分成两部分，如果
=
，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果
=
，那么称直线为该图形的黄金分割线．
问题探究：
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB上的黄金分割点，如图②，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为呢？为什么？
（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF如图③，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由．
（3）如图④，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交CD于点F，显然直线EF是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过四边形ABCD各边黄金分割点．
（4）如图⑤等腰梯形ABCD，请你画出它的一条黄金分割线，使它不经过各边的黄金分割点．
| AC |
| AB |
| BC |
| AC |
| S1 |
| S |
| S2 |
| S1 |
问题探究：
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB上的黄金分割点，如图②，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为呢？为什么？
（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF如图③，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由．
（3）如图④，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交CD于点F，显然直线EF是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过四边形ABCD各边黄金分割点．
（4）如图⑤等腰梯形ABCD，请你画出它的一条黄金分割线，使它不经过各边的黄金分割点．
考点：相似形综合题,黄金分割
专题：
分析：（1）设△ABC边AB上的高为h，先求出
=
，
=
，再根据
=
得出
=
，即可证出直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）先证出S△DEC=S△FCE，设直线EF与直线CD交于点G，证出S△ADC=S△AEF，S四边形BEFC=S△BDC，再根据
=
，得出
=
，即可证出直线EF也是△ABC的黄金分割线；
（3）在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；
（4）分别作出AB、CD的黄金分割点E、F，在FC上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是等腰梯形ABCD的黄金分割线．
| S△ADC |
| S△ABC |
| AD |
| AB |
| S△BDC |
| S△ADC |
| BD |
| AD |
| AD |
| AB |
| BD |
| AD |
| S△ADC |
| S△ABC |
| S△BDC |
| S△ADC |
（2）先证出S△DEC=S△FCE，设直线EF与直线CD交于点G，证出S△ADC=S△AEF，S四边形BEFC=S△BDC，再根据
| S△ADC |
| S△ABC |
| S△BDC |
| S△ADC |
| S△AEF |
| S△ABC |
| S四边形BEFC |
| S△AEF |
（3）在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；
（4）分别作出AB、CD的黄金分割点E、F，在FC上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是等腰梯形ABCD的黄金分割线．
解答：解：（1）设△ABC边AB上的高为h，
∵S△ADC=
AD•h，S△BDC=
BD•h，S△ABC=
AB•h，
∴
=
，
=
，
∵点D为AB上的黄金分割点，
∴
=
，
∴
=
，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，
∴S△DEC=S△FCE，
如图③，设直线EF与直线CD交于点G，
∵S△DGC=S△FGC，
∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FGC=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，
S四边形BEFC=S△BDC，
∵
=
，
∴
=
，
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线；
（3）如图④，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，
则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；
（4）如图⑤，分别作出AB、CD的黄金分割点E、F，在FC上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，
则直线MN就是等腰梯形ABCD的黄金分割线．
∵S△ADC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| S△ADC |
| S△ABC |
| AD |
| AB |
| S△BDC |
| S△ADC |
| BD |
| AD |
∵点D为AB上的黄金分割点，
∴
| AD |
| AB |
| BD |
| AD |
∴
| S△ADC |
| S△ABC |
| S△BDC |
| S△ADC |
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，
∴S△DEC=S△FCE，如图③，设直线EF与直线CD交于点G，
∵S△DGC=S△FGC，
∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FGC=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，
S四边形BEFC=S△BDC，
∵| S△ADC |
| S△ABC |
| S△BDC |
| S△ADC |
∴
| S△AEF |
| S△ABC |
| S四边形BEFC |
| S△AEF |
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线；
（3）如图④，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，
则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；（4）如图⑤，分别作出AB、CD的黄金分割点E、F，在FC上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，
则直线MN就是等腰梯形ABCD的黄金分割线．
点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似形的性质、黄金分割、三角形的面积，关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．
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