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精英家教网已知：反比例函数y=
2
x
和y=
8
x
在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在y=
8
x
的图象上，AB∥y轴，与y=
2
x
的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与y=
2
x
，y=
8
x
的图象交于点C、D．
（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；
（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小，并说明理由；
（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标．
分析：（1）首先根据点A的横坐标和双曲线的解析式，可以分别求得点A、B、C、D四个点的坐标．根据点C、D的坐标可以运用待定系数法求得直线CD的解析式，根据题意，得点F的横坐标是2，再进一步把x=2代入直线CD的解析式即可求得点F的纵坐标；
（2）根据（1）中的方法可以用m表示出A、B、C、D四个点的坐标，从而求得直角三角形ABC的面积；由于三角形OBC的形状不规则，可以对其面积进行转换．作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．根据反比例函数的解析式可知：S△OCN=S△OBM=1．所以该三角形的面积即为梯形CNMB的面积，根据梯形的面积公式进行计算，再进一步比较其大小；
（3）根据两个三角形相似，则夹直角的两组对应边的比应相等，即AB2=AC•BD，再结合（2）中的坐标计算出线段的长度，列方程得m4=16，又m＞0，则m=2．
解答：解：（1）如图，由题可知，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（
1
2
，4），D（8，1）．（1分）
解一：直线CD的解析式为y=-
2
5
x+
21
5
．（2分）
∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴x=2时，y=-
2
5
×2+
21
5
=
17
5
．
∴点F的坐标为(2，
17
5
)．（3分）
解二：AC=
3
2
，BD=6，AB=3．
∵梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴△ACF∽△BDF．
∴
AF
BF
=
AC
BD
=
1
4
．
∴
AF
AB
=
1
5
，AF=
3
5
，点F的纵坐标为
17
5
．（2分）
∴点F的坐标为(2，
17
5
)；（3分）

（2）如图，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、
B、C、D的坐标分别为A(m，
8
m
)，B(m，
2
m
)，C(
m
4
，
8
m
)，D(4m，
2
m
)．
S△ABC=
1
2
×AC×AB=
1
2
×
3m
4
×
6
m
=
9
4
．（4分）
S△OBC=S梯形CNMB+S△OCN-S△OBM=S梯形CNMB=
1
2
(
8
m
+
2
m
)×
3m
4
=
15
4
（5分）
∴S△OBC＞S△ABC；（6分）
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（3）点A的坐标为（2，4）．（7分）
点评：注意几个结论：（1）双曲线y=
k
x
上任意一点向x轴或y轴引垂线，这点、垂足和原点组成的三角形的面积是
|k|
2
；（2）平行于x轴的线段的长等于两个点的横坐标差的绝对值；平行于y轴的线段的长等于两个点的纵坐标的差的绝对值．
练习册系列答案
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已知：反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点M（1，3），且一次函数的图象与y轴交点的纵坐标是2．
求：（1）这两个函数的解析式；
（2）在第一象限内，当一次函数值小于反比例函数值时，x的取值范围是
 
．
已知，反比例函数y=
12x
和一次函数y=kx-7都经过P（m，2），求这个一次函数的解析式．
（2012•昌平区二模）如图，已知：反比例函数y=
kx
（x＜0）的图象经过点A（-2，4）、B（m，2），过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，交AF于点C，连接OA．
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（2）若直线l过点O且平分△AFO的面积，求直线l的解析式．
已知某个反比例函数，它在每个象限内，y随x增大而增大，则这个反比例函数可以是
y=-
1
x
（答案不唯一）
y=-
1
x
（答案不唯一）
（写出一个即可）．
已知，反比例函数y=
-2
x
的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1-y2的值是（　　）

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